Анализ необходимого количества циклов обзора
Итак, процедура поиска разбита на стадии. На каждой новой стадии приёмник работает по списку сигналов, часть из которых уже обнаружена на предыдущих стадиях, и исключается из рассмотрения. Обозначим k -номер стадии поиска, NSk - общее количество сигналов для анализа, оставшееся на начало k стадии, NVk - количество сигналов, которые могут быть обнаружены на k стадии (соответствующие НС находятся в области видимости). Для иллюстрации на рисунке 2.1 схематично изображено несколько стадий процесса поиска. На данном рисунке для упрощения общее количество сигналов взято равным 9, из которых 4 доступны для приёма. После первого прохода списка приёмник обнаружил только 2 из 4 возможных сигналов, поэтому на следующей стадии поиска приёмник будет рассматривать уже не 9, а 7 сигналов. На второй стадии приёмник обнаружил ещё один сигнал, поэтому на третьей стадии будет осуществляться поиск из 6 вариантов. Следует отметить важное обстоятельство. Учитывая то, что процесс обнаружения носит вероятностный характер, количество сигналов для поиска на каждой новой стадии будет случайным числом.
При поиске отдельно взятого сигнала можно получить вероятность правильного обнаружения при его наличии. В процессе перебора приёмник не может знать о факте наличия или отсутствия сигнала, поэтому напрямую связать вероятность правильного обнаружения при наличии сигнала с количеством циклов обзора нельзя. Здесь необходимо разделить два понятия. Приёмник, последовательно перебирая сигналы, “обращается” к каждому из сигналов, и, если приёмник “обратился” к доступному сигналу (соответствующий НС находится в области видимости), то сигнал может быть “обнаружен”. Для того, чтобы связать вероятность обнаружения при условии наличия сигнала с процедурой перебора сигналов, определим сначала распределение количества доступных сигналов, к которым приёмник “обратился”, после чего рассчитаем распределение количества сигналов, которые будут обнаружены.
Для процедуры поиска задано максимальное количество циклов обзора. К началу k стадии поиска часть циклов обзора уже совершено. Пусть n - оставшееся количество циклов обзора. Если n ≥ NSk , то количество доступных сигналов, к которым “обратится” приёмник в процессе перебора, равно m = NVk . Если n ≤ NSk , т. е. это последняя стадия поиска и не весь список оставшихся сигналов будет проанализирован, то количество доступных сигналов, к которым “обратится” приёмник будет случайным. Распределение их количества определяется гипергеометрической формулой:
При заданной вероятности правильного обнаружения распределение количества сигналов d, которые будут обнаружены из m встретившихся, определяется биномиальным распределением:
Используя формулу Байеса, получим распределение количества обнаруженных на k стадии сигналов:
Для того, чтобы была возможность рассчитать распределение количества найденных сигналов для всей процедуры, необходимо связать вместе все стадии. Количество сигналов, оставшихся для поиска на последующих стадиях, определяется количеством обнаруженных на данной стадии сигналов, а это случайное число.
На рисунке 2.2 изображена диаграмма возможных исходов процесса поиска. В зависимости от количества найденных на каждой стадии поиска сигналов процесс поиска будет происходить по той или иной ветви данной диаграммы. Для того, чтобы получить окончательное распределение количества найденных сигналов, необходимо провести усреднение по каждой ветви такой диаграммы. Обозначим Pk(d) - распределение количества найденных на самой k процедуре сигналов, а P>k(c|d) - распределение количества найденных сигналов на всей оставшейся части процедуры поиска при условии, что на k-ой стадии найдено d сигналов. В этом случае количество сигналов, найденное на всей оставшейся после k − 1 стадии части процедуры будет определятся выражением:
Для последней процедуры поиска будет выполняться выражение:
Выражения (2.4), (2.3), (2.2) и (2.1) позволяют рекуррентно рассчитать распределение количества обнаруженных сигналов после N циклов обзора P(d) = P>0(d|0).Имея распределение количества обнаруженных сигналов, можно рассчитать, например, вероятность обнаружения не менее Nmin сигналов.
Расчёт количества процедур поиска
Для расчёта количества обнаруженных сигналов создана специальная программа, текст которой приведён в приложении. В результате работы данной программы рассчитана вероятность обнаружения всех сигналов от количества циклов обзора при различных величинах вероятности правильного обнаружения PD. Данная зависимость изображена на графике 2.3. По данному графику следует дать некоторые пояснения. При PD = 1 рассматривается идеальный обнаружитель. Для такого обнаружителя термины “обратился” к сигналу и “обнаружил” сигнал означают одно и то же. В связи с этим после одной стадии поиска, когда будет просмотрен весь список сигналов, все доступные сигналы будут обнаружены. В связи с этим график при PD = 1 на рисунке 2.3 доходит до единицы при N = 22
. Все остальные графики построены для случая неидеального обнаружителя, поэтому необходимо большее количество циклов обзора.
Чем выше вероятность правильного обнаружения, тем меньше циклов обзора требуется для достижения поставленной задачи. Однако обеспечение высокой вероятности правильного обнаружения приводит к большей длительности интервала накопления, поэтому длительность отдельного цикла обзора увеличивается. Таким образом, выбор вероятности правильного обнаружения PD является объектом оптимизации, выполнить которую можно после того, как будет получена взаимосвязь длительности цикла обзора одного сигнала и вероятности правильного обнаружения.
В таблице 2.1 приведено количество циклов обзора, необходимое для обнаружения всех сигналов с вероятностью 0.95